Детские годы Дюмина прошли в воинских гарнизонах, в которых служил отец. До школы несколько месяцев он провел в Курске, затем они жили в Калуге. Позже они переехали в Воронеж, на очередное место службы отца. С четвертого класса стал заниматься хоккеем, к чему подошел весьма ответственно. Тренеры говорили о нем как о подающем большие надежды вратаре. По окончании 10 класса Алексея Дюмина пригласили в воронежскую хоккейную команду «Буран», но юноша вынужден был отказаться. Потомственный военный, он выбрал путь, продолжающий семейное дело. По настоянию отца он поступил в Воронежское высшее военное училище радиоэлектроники. В 1994 году, завершив обучение, молодой человек получил назначение в войсковую часть Подмосковья.